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Música e Matemática, amigas de longa data

Aproveitando o feito sensacional da conquista da medalha Fields pelo matemático brasileiro Artur Ávila, em Seul, no Congresso Internacional de Matemáticos, neste 12 de agosto, gostaria de apresentar aqui dois exemplos da relação da Matemática com a Música.

O grande matemático Leibnitz certa vez disse que “A música é um exercício de aritmética secreto e aquele a que ela se entrega às vezes ignora que maneja números”. Particularmente, quando comecei a estudar peças de J.S. Bach, percebi que havia algo mais estrutural que suportavam estes sons quase divinos que saíam de seus cânones e fugas. Senão vejamos.

Bach

J. S. Bach

Foi Bach (1685-1750) que estabeleceu a escala cromática ou temperada, dividindo a escala musical em 12 partes. Ele partiu da escala diatônica, dividida em 7 partes, com as notas Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si – correspondendo às teclas brancas do teclado do piano, acrescentando mais 5 semitons – as notas Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá# – que correspondem às teclas pretas. Mas Bach, este que é considerado o maior gênio musical que já existiu, criou esta escala temperada  – Dó, Dó# Ré, Ré#, Mi, …, Si –  em 12 partes logarítmicas, desta forma:

Bach - escala cromatica

Escala cromática, dividida em 12 partes logarítmicas

Baseado nesta escala temperada, J. S. Bach compôs inúmeras peças. Entre elas, está o Cânone do Caranguejo, belíssima obra que se presta a muitas variações como esta que é apresentada abaixo.

http://www.youtube.com/watch?v=xUHQ2ybTejU

Bach - canone Moebius

Cânone do Caranguejo, de J.S.Bach, inserido em uma fita de Moebius. Vídeo de Jos Leys.

 

Para os que não sabem, chama-se cânone a forma polifônica em que as vozes imitam a linha melódica cantada por uma primeira voz, entrando cada voz, uma após a outra, uma retomando o que a outra acabou de dizer, enquanto a primeira continua o seu caminho: é uma espécie de corrida onde a segunda jamais alcança a primeira. E, no cânone retrógrado ou caranguejo, o consequente acompanha o antecedente de trás para frente (retrógrado).

Uma fita de Möbius é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta numa delas.

Um outro exemplo desta amizade entre Música e Matemática é a relação entre os números de Fibonacci e a escala cromática musical. O vídeo abaixo é autoexplicativo. Para aumentar nosso deleite, o fundo musical é ao som do Prelúdio em Dó Maior do Cravo Bem-Temperado, de J. S. Bach.

http://www.youtube.com/watch?v=2pbEarwdusc

Bach - fibonacci

Relação entre a série de Fibonacci e a escala cromática musical

Em tempo: a sequência de Fibonacci se inicia com os dois primeiros números com o valor 1 e cada um dos outros sendo a soma dos dois anteriores.

Lindo este congraçamento entre cânones, logaritmos, escala cromática e números de Fibonacci, não?

 Autor: Catherine Beltrão