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Escher: mais matemática na Arte

Escher

M. C. Escher

Dando prosseguimento aos textos relacionando ciência e arte, desta vez a abordagem é focar o arquiteto Maurits Cornelis Escher (1898 — 1972), artista gráfico holandês conhecido pela execução de transformações geométricas (isometrias) nas suas obras. Mas o que é isometria?

Isometria é uma palavra de origem grega (Isos = igual e metria = medida) e é definida como sendo uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direção e o sentido. Os ângulos mantêm também a sua amplitude. Existem quatro tipos de isometrias no plano: rotações, translações, reflexões e reflexões deslizantes.

Escher - isometria

Tipos de isometria

 

E de que forma se aplica a isometria em obras de arte? A partir de uma malha de polígonos, regulares ou não, Escher fazia mudanças, mas sem alterar a área do polígono original. Assim surgiam figuras de homens, peixes, aves, lagartos, todos envolvidos de tal forma que nenhum poderia mais se mexer. Tudo representado num plano bidimensional.

Bastante intrigante é tentar entender como  um pássaro pode se transformar em peixe, em uma única obra, como esta apresentada abaixo.

Escher - Ceu e agua 1

“Céu e água”, de Escher

 

Para quem quiser matar a curiosidade de como a isometria é utilizada para a criação de uma obra como essa, vale a pena acessar este link, realizado pelo Office National du Film du Canada.

Mas Escher também explorou o espaço em seus trabalhos, brincando com o fato de ter que representar o espaço, que é tridimensional, num plano bidimensional, como a folha de papel. Com isto ele criava figuras impossíveis, representações distorcidas e paradoxais.

Escher - Relatividade

“Relatividade”, de Escher. Litogravura, 39,3 X 40,3cm

 

Bem interessante é esta animação em 3D, realizada a partir da obra “Relatividade, localizada na National Gallery of Canada, em Ottawa.

O que mais intriga na obra de Escher é que ele não tinha quase nenhum conhecimento de matemática, de geometria, de isometria. No entanto, criou obras fantásticas, que servem de análise e discussão para pesquisadores de várias áreas, seja no campo artístico ou no de arquitetura.  E ele, como algumas pessoas que ficam bailando nas fronteiras das chamadas “áreas do conhecimento”, sentia dificuldade em se auto classificar.

São palavras de Escher: “Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas.”

 Autor: Catherine Beltrão

Música e Matemática, amigas de longa data

Aproveitando o feito sensacional da conquista da medalha Fields pelo matemático brasileiro Artur Ávila, em Seul, no Congresso Internacional de Matemáticos, neste 12 de agosto, gostaria de apresentar aqui dois exemplos da relação da Matemática com a Música.

O grande matemático Leibnitz certa vez disse que “A música é um exercício de aritmética secreto e aquele a que ela se entrega às vezes ignora que maneja números”. Particularmente, quando comecei a estudar peças de J.S. Bach, percebi que havia algo mais estrutural que suportavam estes sons quase divinos que saíam de seus cânones e fugas. Senão vejamos.

Bach

J. S. Bach

Foi Bach (1685-1750) que estabeleceu a escala cromática ou temperada, dividindo a escala musical em 12 partes. Ele partiu da escala diatônica, dividida em 7 partes, com as notas Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si – correspondendo às teclas brancas do teclado do piano, acrescentando mais 5 semitons – as notas Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá# – que correspondem às teclas pretas. Mas Bach, este que é considerado o maior gênio musical que já existiu, criou esta escala temperada  – Dó, Dó# Ré, Ré#, Mi, …, Si –  em 12 partes logarítmicas, desta forma:

Bach - escala cromatica

Escala cromática, dividida em 12 partes logarítmicas

Baseado nesta escala temperada, J. S. Bach compôs inúmeras peças. Entre elas, está o Cânone do Caranguejo, belíssima obra que se presta a muitas variações como esta que é apresentada abaixo.

http://www.youtube.com/watch?v=xUHQ2ybTejU

Bach - canone Moebius

Cânone do Caranguejo, de J.S.Bach, inserido em uma fita de Moebius. Vídeo de Jos Leys.

 

Para os que não sabem, chama-se cânone a forma polifônica em que as vozes imitam a linha melódica cantada por uma primeira voz, entrando cada voz, uma após a outra, uma retomando o que a outra acabou de dizer, enquanto a primeira continua o seu caminho: é uma espécie de corrida onde a segunda jamais alcança a primeira. E, no cânone retrógrado ou caranguejo, o consequente acompanha o antecedente de trás para frente (retrógrado).

Uma fita de Möbius é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta numa delas.

Um outro exemplo desta amizade entre Música e Matemática é a relação entre os números de Fibonacci e a escala cromática musical. O vídeo abaixo é autoexplicativo. Para aumentar nosso deleite, o fundo musical é ao som do Prelúdio em Dó Maior do Cravo Bem-Temperado, de J. S. Bach.

http://www.youtube.com/watch?v=2pbEarwdusc

Bach - fibonacci

Relação entre a série de Fibonacci e a escala cromática musical

Em tempo: a sequência de Fibonacci se inicia com os dois primeiros números com o valor 1 e cada um dos outros sendo a soma dos dois anteriores.

Lindo este congraçamento entre cânones, logaritmos, escala cromática e números de Fibonacci, não?

 Autor: Catherine Beltrão

“A arte do brick”

Como é do conhecimento de muita gente, o sistema LEGO é um brinquedo de plástico injetado, baseado em partes que se encaixam permitindo inúmeras combinações. Criado pelo dinamarquês Ole Kirk Christiansen, é fabricado em escala industrial desde meados da década de 1950. O criador fundiu duas palavras em dinamarquês para obter o nome “LEGO”: leg godt que significa “brincar bem”.

Fui conhecer este  brinquedo  no início dos anos 80, em minha estadia na França, quando meu filho Daniel, então com 4 anos, recebeu de aniversário de um de nossos amigos, o seu primeiro brinquedo Lego. Na época, já ficava fascinada com as inúmeras possibilidades de criação de objetos com os blocos. Mas nunca poderia imaginar o que, bem mais tarde, poderia ser feito com estas peças, dentro de um contexto artístico.

Sawaya

Nathan Sawaya

Como uma brincadeira de criança que ganha grandes proporções, o artista americano Nathan Sawaya ficou conhecido no mundo inteiro com suas obras elaboradas exclusivamente com blocos Lego.

Sawaya - Amarelo

“Amarelo”

Sua exposição itinerante The Art of the Brick (“A Arte do Tijolo”, em tradução livre), lançada em 2011, já foi vista por mais de 1,5 milhão de pessoas nos Estados Unidos, Canadá, Austrália e Ásia e, recentemente, chegou à Europa, com uma primeira parada na Bolsa de Bruxelas, onde ficou até 21 de abril.

A capital belga recebeu 70 de suas obras mais impressionantes, reunindo cerca de um milhão de peças de Lego em um espaço de 1,3 mil metros quadrados.

Sawaya - Tiranossauro

“Tiranossauro”

 

Sawaya - O Grito

“O Grito”, de E. Munch

Sawaya - O Beijo

“O Beijo”, de G. Klimt

Entre elas se destacava um esqueleto de tiranossauro de seis metros de comprimento, que custou ao artista três meses de trabalho e mais de 80 mil blocos do popular brinquedo de plástico, além de reproduções em três dimensões de telas clássicas, como O Beijo, de Klimt, e O Grito, de Edvard Munch.

Sawaya também revisitou esculturas como a Vênus de Milo, de Alexandros de Antióquia, e O Pensador, de Rodin, e criou obras originais que mostram figuras humanas em plena transformação.

Sawaya - Nadador

“A Nadadora”

Advogado de formação, Sawaya começou a construir objetos com Lego na infância, como qualquer criança, mas sua paixão e habilidade com o brinquedo evoluiu com o tempo.

Em 2004 ele desistiu do trabalho em um escritório de advocacia para integrar a equipe artística de Lego, antes de abrir um estúdio de artes em Nova York e começar a expor suas obras em 2007.

Gosto de ver a reação das pessoas diante de obras de arte criadas a partir de algo com o qual são familiares. Todo mundo pode estabelecer uma relação com essas obras porque, na base, trata-se de um brinquedo que muitas crianças têm em casa“, ele explica.

Não fui aos Estados Unidos, Canadá, Austrália e Ásia, e nem mesmo a Bruxelas. Não sou uma das 1,5 milhão de pessoas que tenha visto a exposição “The Art of the Brick“. Fico então aguardando a exposição chegar por aqui, em terras brasileiras.

Mais informações:

http://www.youtube.com/watch?v=mpnfIRFNXsM
http://www.youtube.com/watch?v=sNwzWUHDUTQ

 Autor: Catherine Beltrão

A Ciência pelo Caminho das Artes (parte II)

O projeto “A Ciência pelo Caminho das Artes” consiste na apresentação da trajetória de Ivan Beltrão (1923-1979), que percorreu caminhos da ARTE e da CIÊNCIA, mostrando algumas de suas relações, interseções e tangenciamentos.

Como já foi dito no post A Ciência pelo Caminho das Artes (parte I)”, Ivan foi matemático, engenheiro, cientista, poeta e pintor.

O primeiro passo do projeto foi dado em novembro de 2013, na Fundação Planetário da Cidade do Rio de Janeiro, dentro do contexto do III Equinócio Cultural. Na ocasião, foram expostas 16 obras de Ivan de épocas e temas variados: barcos, rostos, flores, cidades, planetas, cristos.

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Baner Ivan – pintor. Criador da arte: Eduardo Vieira

Ivan assinava suas obras como Ivan Blin. Autodidata, nunca frequentou qualquer escola de desenho ou de pintura. Começou a desenhar em meados da década de 50. É um pintor fauve, que vem da palavra fauvisme. 

Matisse – “La Femme au chapeau”, 1905, 80,7 X 59,7 cm

Fauvisme é uma corrente da pintura do início do século XX e se caracteriza pela audácia e pela novidade de suas pesquisas cromáticas. Estes pintores recorrem a largas pinceladas ou espatuladas com cores violentas, puras. Eles separam a cor e sua referência ao objeto a fim de acentuar a expressão e reagem de forma provocadora contra as sensações visuais e a doçura do impressionismo. Principais nomes: Henri Matisse (1869-1954) e André Derain (1880-1954).

 

As 16 obras de Ivan foram expostas no hall de entorno da cúpula Galileu Galilei da Fundação Planetário. Abaixo, duas destas obras:

Ivan - Barco colorido em fundo escuro

Ivan Blin – “Barco colorido em fundo escuro”

Ivan - Cristo2

Ivan Blin – “Cristo 2″

Fundamentado pelas Leis das Curvaturas, Ivan afirmava que  “as curvaturas do Universo são feitas para se unir, tanto na espiral de uma galáxia quanto numa nuvem eletrônica que envolve o proton para formar um átomo de hidrogênio.” Em outras palavras, o macro e o micro são regidos pelas mesmas leis!

Mas como isto poderia ser mostrado no contexto de uma exposição de pintura, de forma lúdica e inteligível, sem utilizar fórmulas complexas de Matemática, Física, Biologia ou Cosmologia, apresentadas no livro de meu pai?

Para esta primeira apresentação do projeto “A Ciência pelo Caminho das Artes“, em uma cúpula da Fundação Planetário, tive então um insight! Ao fazer alguns zooms (micro) das obras em exposição, percebi que essas imagens se pareciam muito com nebulosas (macro). Se essas imagens fossem inseridas em um fundo de céu estrelado e projetadas na cúpula, o efeito poderia ser fantástico… e se, além disso, as nebulosas se movimentassem de um lado para outro e pra frente e pra trás, com um fundo musical adequado ao contexto, com certeza o resultado seria totalmente inédito e inesquecível!

No dia da abertura da exposição, apresentei uma palestra sobre o projeto na cúpula Galileu Galilei. Ao final da apresentação, uma surpresa: pequenas partes de algumas das obras expostas tinham sido tratadas com zoom sobre fundo estrelado e projetadas na cúpula, imagens que pareciam verdadeiras nebulosas, dançando ao som do “Danúbio Azul“, de Richard Strauss…

Ivan - Cristo2.zoom

Zoom de parte da obra “Cristo 2″, aplicada em fundo estrelado

 

Ivan - Casa na montanha 2

Zoom de parte da obra “Casa na montanha”, aplicada em fundo estrelado

 

E que venham as próximas etapas do projeto “A Ciência pelo Caminho das Artes“!

Mais informações sobre Ivan Beltrão: www.ivanbeltrao.com

Autor: Catherine Beltrão

A Ciência pelo Caminho das Artes (parte I)

Einstein

Albert Einstein

Shopenhauer

Shopenhauer

Albert Einstein fez um discurso sobre o físico Max Planck em 26 de abril de 1918, no qual dizia: “Eu sou da opinião de Schopenhauer quando falava: um dos motivos mais fortes que nos conduz em direção à Arte e à Ciência é a evasão da vida cotidiana, da sua aridez e do seu vazio desesperador.” Um dos maiores gênios de nosso século colocava no mesmo plano e ocupando o mesmo espaço a ARTE e a CIÊNCIA, possivelmente sentindo o entrelaçamento íntimo entre estes dois estados da inquietação do homem.

Assim começa o prefácio do livro “A Ciência pelo Caminho das Artes“, escrito pelo meu pai, Ivan Beltrão (Ivan Blin, como pintor), que foi cientista, engenheiro, matemático, pintor, poeta. E parceiro de Baden Powell.

Ivan Beltrao

Ivan Beltrão, meu pai

Meu pai, falecido em 1979 aos 56 anos, procurava uma lei que unificasse todas as formas de forças conhecidas no Universo, através das leis das curvaturas. Segundo ele, “as curvaturas do Universo são feitas para se unir, tanto na espiral de uma galáxia quanto numa nuvem eletrônica que envolve o proton para formar um átomo de hidrogênio.”

Bach

J. S. Bach

Tudo é curvatura: em uma fuga de Bach, os caminhos musicais tem suas curvaturas, formando uma verdadeira arquitetura em movimento; na hélice dupla da ADN, existe um verdadeiro casamento de curvaturas espaciais entre a adenina e timina e a guanina e a citosina; e na Fé, existe uma curvatura com dimensões enormes, numa tentativa sobre-humana de alcançar Deus.”

“A verdadeira riqueza de um homem é sua capacidade em aumentar suas dimensões em todas as direções da sensação da vida. A riqueza não é ser o proprietário de uma tela de Van Gogh, mas sim saber olhar para ela.”

E acrescenta: “Os artistas sempre se anteciparam aos cientistas, justamente por não utilizarem ferramentas pesadas e, pelo menos por enquanto, os sonhos serão sempre mais velozes que a própria luz.

Na verdade, o que Ivan propõe nos seus escritos é o total relacionamento entre Arte e Ciência, entre o micro e o macro. E, para provar isso, utiliza um poderoso ferramental matemático, baseado nas leis das curvaturas. Ao mesmo tempo, está longe de enaltecer a Matemática: “A matemática é uma bengala para o artritismo intelectual. O homem inventou a matemática para usar como ferramenta sobre a qual se apoia a fraqueza de nossa análise e síntese mental para acompanhar penivelmente a compreensão do espaço e do tempo que nossa imaginação deveria abraçar de um golpe só.

Ivan - Cristo2.zoom

Arte ou Ciência? Qual seria o contexto dessa imagem?

Em novembro de 2013, dentro do contexto do projeto “A Ciência pelo Caminho das Artes“, foi realizada uma exposição de parte da obra de meu pai, na Fundação Planetário da Cidade do Rio de Janeiro, mais especialmente no evento “III Equinócio Cultural”. Em tempo: equinócio tem a ver com equilíbrio entre dia e noite. Equilíbrio entre Ciência e Arte.

Ivan - Convite expo

Convite da exposição “A Ciência pelo Caminho das Artes”. Criação da arte: Eduardo Vieira

No que consistiu este projeto apresentado na Fundação Planetário? Isto já é texto para outro post…

Mais informações sobre Ivan Beltrão: www.ivanbeltrao.com

Autor: Catherine Beltrão