Arquivo da categoria: Ciência e Arte

Pollock e os fractais

Dias atrás, escrevi neste blog o post “As gotas de Pollock”.  Como era de se esperar, alguns comentários de não compreensão de sua arte surgiram: “Isso eu também faço.” … ou “Pra mim são só rabiscos, minha neta também faz.” … ou ainda “É isso que acontece quando você é um artista e tem 0/0 de criatividade, algumas tintas e uma tela…”.

Resolvi então escrever um segundo post sobre Jackson Pollock. Este irá abordar a relação da produção de Pollock com o modelo geométrico dos fractais, da Teoria do Caos. Quem descobriu esta relação foi o físico americano Richard Taylor, da Universidade de Oregon, nos anos 90.

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Parte de imagens de raízes de árvores e da obra “Number 5″, de Jackson Pollock

 Mas o que é um fractal?

Fractais2Fractais1O termo “fractal” foi utilizado pela primeira vez pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot, em 1967, com origem no adjetivo latino fractus e no verbo frangere (irregular, quebrar, fraturar). Um fractal é um objeto que possui uma estrutura não trivial em todas as escalas, ou seja, um objeto que tenha a propriedade de auto-semelhança exata mediante reescalonamento, é um fractal. Muitas formas na natureza são aproximadas por esta geometria.

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“Poeira de Cantor”

Talvez o primeiro fractal descrito matematicamente tenha sido a “Poeira de Cantor” que foi apresentado pelo matemático alemão Georg Cantor por volta de 1872. É uma figura muito simples: retrata auto-semelhança em várias escalas e tem dimensão fracionária, com valor aproximado de 0,630929753571457437. (Mais precisamente, log2/log3). E também se percebe a terceira característica de um fractal: é produzido por iteração.

A iteração pode ser descrita como um processo de realimentação que se repete n vezes. Refere-se ao ato de executar o cálculo de uma certa função e então, obtido o resultado, esse servirá de parâmetro de entrada, para o próximo cálculo da mesma função. A operação se repete (mesmo infinitamente), tornando-se uma iteração. Tal processo poderá produzir um fractal.

A construção da Poeira de Cantor inicia-se com um segmento de reta, que é redesenhada abaixo, porém dividido em três segmentos iguais, onde a parte do meio é retirada. Este processo é repedido para os dois segmentos de reta resultantes, obtendo-se a terceira linha, e assim indefinidamente.

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“Triângulo de Sierpinski”

A geometria de fractais é relativamente nova, mas teorias de conjuntos de dimensões fractais e equações não-lineares diferenciais datam de mais de um século. Os fractais foram realmente reconhecidos quando Mandlebort conseguiu juntar tanto os estudos nessa área quanto seus estudos provando que existia regularidade por trás das figuras aparentemente amórficas. Um importante recurso utilizado por Mandelbrot foi o computador. Através dele foi possível fazer as simulações necessárias, algo que os matemáticos anteriores a ele não possuíam, pois fractais são praticamente impossíveis de serem gerados sem recursos computacionais devido à quantidade quase infinita de iterações necessárias.

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“Curvas de Koch”

Um pouco mais complexo que a “Poeira de Cantor” é a construção do Triângulo de Sierpinski  (1882-1969), apresentado em 1915. O processo de construção se inicia com a construção de triângulo equilátero. A seguir constrói-se outro triângulo, tendo como vértices os pontos médios do primeiro. Assim, passamos a ter quarto triângulos semelhantes. Esse processo é repetido exceto para o triângulo central. A repetição recursiva desse processo define o Triângulo de Sierpinski.

Outras formas clássicas são as Curvas de Koch (1870-1924), apresentada em 1904, cuja forma de construção é semelhante ao Triângulo de Sierpinski, e a Poeira de Cantor.

As formas citadas até o momento podem ser construídas sem recursos computacionais. Já os Conjuntos de Julia e o os Conjuntos de Mandelbrot, necessitam de tais recursos.

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“Conjunto de Mandelbrot”

O Conjunto de Mandelbrot é a mais conhecida das imagens fractais. A figura pode ser criada a partir da iteração de números complexos, escritos como x + iy. A interação é feita com a fórmula: z[n+1] = z[n] * z[n] + c, onde z e c são números complexos.

E onde ficam os fractais na técnica de gotejamento utilizada por Pollock?

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Pollock pintando.

Richard Taylor analisou as obras do artista no computador, dividindo cada uma em quadrados de tamanhos que variavam de 1 centímetro a 4,8 metros, e comparou os conteúdos. O resultado foi que um mesmo padrão se repetia em diversos tamanhos, alguns até mil vezes maiores que outros.

Durante a pesquisa, Taylor mediu nos quadros a dimensão fractal – número que mede a complexidade do fractal. Ele percebeu que
esta dimensão aumenta à medida que Pollock refina sua técnica, atingindo valores maiores nas últimas obras, como se o pintor estivesse inconscientemente à procura de fractais cada vez mais complexos. As telas iniciais, feitas em 1945, têm uma dimensão fractal baixa, semelhante à de uma couve-flor, e as últimas obras possuem números comparáveis aos de uma floresta.

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“Number 1″, de Jackson Pollock. 1950

E o mais surpreendente na obra de Pollock: ele produziu imagens fractais trinta anos antes desta teoria ter sido formulada!

E agora, José? Qualquer um pode criar este tipo de obra? Quem achar que pode, que comece.

Fontes: Fractais e Arte e Pollock by Taylor.

Autor: Catherine Beltrão

A Física na pintura de Vermeer

Muito já se escreveu sobre a relação da Matemática com a Arte. Por exemplo, o numéro Phi, ou número áureo, definido por Euclides há mais de 2000 anos, foi ilustrado pela primeira vez por Leonardo da Vinci, em seu célebre “Homem Vitruviano.” Michelangelo, Botticelli e Salvador Dali também utilizaram a proporção áurea em algumas de suas obras.

Mas e a Física? Haveria alguma relação da Física com a Arte?

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“Girl with a Pearl Earring c. 1665-1666″. Real Galeria de Arte Mauritshuis, em Haia

Johannes Vermeer (1632-1675), um dos maiores pintores holandeses junto com Rembrandt, responde a esta pergunta.

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Vídeo sobre a Era de ouro da Pintura holandesa.

No século XVII, (1632-1675), a Holanda era certamente um centro para manufatura de instrumentos ópticos de alta qualidade. Naquela época, já se conhecia um dispositivo ótico chamado “câmara escura”,  que reproduzia uma imagem fiel de uma cena real para uma tela. Era uma espécie de antecedente da câmara fotográfica, 150 anos antes de sua invenção!

Supõe-se que Vermeer utilizou este dispositivo para conseguir um posicionamento preciso em suas composições, nas quais os efeitos da luz geram uma perspectiva cujo resultado não pode ser obtido a olho nu, ou seja, sem o auxilio de uma lente. Além disso, Vermeer também teria utilizado espelhos na confecção de suas pinturas. Os espelhos também necessitam de luz para refletir uma imagem, ou seja, para um observador visualizar a imagem, ele precisa receber raios luminosos provenientes do objeto.

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“The Music Lesson”, pintura (1662), óleo sobre tela, 73,3 x 64,5 cm . Na The Real Collection, Windsor, Londres.

Saído em 2013, o documentário “Tim’s Vermeer” pretendeu mostrar como um inventor texano – Tim Jenison – conseguiu reproduzir à perfeição a obra “The Music Lesson“, com a utilização de uma câmara escuro e espelhos. Foi um projeto que durou cinco anos, desde a sua concepção, passando pela construção dos objetos existentes na obra e fora dela, até chegar à sua execução. Para ver o documentário na íntegra, clique aqui.

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“A Kitchen Maid”, c. 1658

Não há um número exato de obras atribuídas a Johannes Vermeer, mas especula-se que seja entre 35 e 40 pinturas, pintando apenas duas ou três telas por ano. A maioria era de interiores e cenas cotidianas, com técnica peculiar e inconfundível.

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“Girl with the red hat”. c.1665-66

Arte e Ciência, entidades totalmente conectadas: ontem, hoje e para sempre!

 Autor: Catherine Beltrão

“Noite Estrelada”: a Arte roteiriza a Ciência e a Tecnologia

Vincent Van Gogh (1853-1890) pintou “A Noite Estrelada” em 1889. Tinha 36 anos e no ano seguinte iria dar fim a uma vida turbulenta como as obras que criou. Obra de um dos artistas mais valorizados da atualidade, “A Noite Estrelada“, cada vez mais, serve de roteiro para estudos e projetos científicos e tecnológicos, transcendendo a trajetória de uma obra de arte, por mais famosa que seja.

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“Noite Estrelada”, de Van Gogh. 1889, ost, 73,7 × 92,1cm

 

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Recriação da obra “A Noite Estrelada”, com colônias de bactérias

Recentemente, a microbióloga americana Melanie Sullivan recriou “A Noite Estrelada” com colônias de bactérias em cinco placas de Petri. Esta recriação participou do primeiro concurso de “Agar Art”, promovido pela Sociedade Americana de Microbiologia. Agar é uma substância que as bactérias comem para se desenvolverem. Melanie  usou vários tipos de bactérias para produzir as diversas cores, incluindo bactérias causadoras de infecções como pneumonia e meningite.

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Vídeo da ciclovia Van Gogh-Roosegaarde. Duração: 1.11

Como parte da comemoração dos 125 anos da morte de Van Gogh, o artista Daan Roosegaarde projetou a ciclovia Van Gogh-Roosegard, que integra a rota ciclística Van Gogh na província de Noord-Brabant, na Holanda. O desenho da ciclovia é inspirado no quadro “A Noite Estrelada”, de Vincent van Gogh, e feito com pequenas pedrinhas especiais que brilham no escuro graças a uma tecnologia inovadora de armazenamento de energia solar. O projeto combina arte, tecnologia e segurança dentro do novo contexto holandês inaugurado pela recente implementação de sistemas de captação de energia solar das ciclovias.

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“A Noite Estrelada” recriada com imagens do Telescópio Espacial Hubble

Em outra versão de “A Noite Estrelada” para os dias atuais, criada por Alex Harrison Parker, a obra de Van Gogh foi recriada com fotos tiradas do espaço. Hoje, Parker é um pesquisador de pós-doutorado no Centro Harvard-Smithsonian de Astrofísica, em Cambridge. Seus temas de pesquisa giram em torno da formação e evolução de Sistemas planetários. Para produção de sua versão de “A Noite Estrelada“, Parker utilizou um software de mosaicos e selecionou cem fotos capturadas pelo Telescópio Hubble durante os últimos vinte anos.

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Vídeo com “A Noite Estrelada ” recriada em dominós. Duração: 3:00

Uma recriação interessante da obra “A Noite Estrelada” foi realizada com 7000 peças de dominós, que levou 10 horas para ser montada.

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Vídeo com recriação animada de “A Noite Ilustrada”. Duração: 4:15

O artista grego Petros Vrellis recriou “A Noite Estrelada” para que ficasse em constante movimento, podendo ser alterada com o toque do espectador. Para produção, Petros utilizou a multiplataforma openFrameworks, direcionada especificamente para artistas, designers e programadores. Tal ferramenta é focada em criações audiovisuais, fornecendo uma interface simples e padronizada para manipular vários tipos de mídia. São aproximadamente oitenta mil partículas que movem-se constantemente de forma fluída e a API (Applocation Programming Interface) utilizada é a OpenGL (Open Graphics Library), que reúne funções específicas disponibilizadas para a criação e desenvolvimento de aplicativos em determinadas linguagens de programação.

Durante o processo, o artista pontuou que se surpreendeu ao descobrir que os fluxos da pintura são consistentes e que não há conflitos nas direções das pinceladas. Dentre as muitas dificuldades, Petros afirma que demorou mais de seis meses para terminá-lo. Não foi apenas uma tarefa de programação, mas também um processo de calibração em que havia a preocupação de obter o resultado mais similar possível ao da obra Van Goghiana. No entanto, o processo careceu de muita paciência, fazendo Petros chegar muito perto de desistir.

Estas são só algumas das recriações da famosa obra de Van Gogh que encontrei na Internet. “A Noite Estrelada“, por ser uma obra transcendental, de um dos maiores gênios da pintura que já existiu, continuará servindo de roteiro e emprestando sua alma para pesquisas e estudos na área da Ciência e da Tecnologia.

Autor: Catherine Beltrão

Da Vinci: Monalisa, Homem Vitruviano, ornitóptero, CVT…

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Leonardo da Vinci – autorretrato, Cerca de 1512 a 1515.

No último dia 15 de abril, comemorou-se o aniversário de Leonardo da Vinci (1452-1519). Embora o Google não lhe tenha dedicado um doodle nesta data, não posso deixar passa-la em branco. E como colorir está na moda, vou dar cores a esta página-data.

Para muitos, Leonardo da Vinci foi o maior gênio de todos os tempos. Como pode alguém ter levado tão a sério a cumplicidade da Arte com a Ciência? Como a mesma pessoa pode ter pintado a Monalisa e desenhado projetos de engenharia que seriam executados séculos depois? Como um único homem demonstrou, em 1490, através de um único desenho - O Homem Vitruviano – a simetria básica do universo e em outro desenho, também datado do mesmo ano, o conceito da transmissão continuamente variável, o atual câmbio CVT?

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Ornitóptero, criação de Da Vinci, em 1488

Entre as inúmeras invenções de Leonardo, está o ornitóptero, precursor da asa-delta. Este invento data de 1488 e nada mais é do que um aparelho voador leve, porém mais pesado do que o ar, que imita o voo de pássaros e insetos voadores. O ornitóptero possuía em seu projeto original um confortável assento, além de diversos controles para o piloto.  Através dos séculos, o principal obstáculo para a execução do projeto teria sido a relação entre a força aplicada e o impulso obtido. Finalmente, em 2010, um ornitóptero canadense batizado Snowbird realizou o primeiro voo bem-sucedido de um ornitóptero movido à força humana, e deste modo concretizou o sonho de Leonardo da Vinci.

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Conceito do CVT, idealizado por Da Vinci, em 1490.

O conceito de CVT – Transmissão continuamente variável é um tipo de transmissão que simula uma quantidade infinita de relações de marcha, uma vez que funciona com um sistema de duas polias de tamanhos diferentes interligadas por uma correia metálica de alta resistência, em vez de engrenagens com determinados tamanhos. O conceito do CVT foi idealizado por Leonardo da Vinci em 1490, tendo sido a primeira patente do sistema registrada em 1886. Hoje, o câmbio CVT é usado principalmente em pequenos veículos como motocicletas, jet skis, karts, snowmobiles e carros de golfe, tem vindo a ser incorporado a veículos maiores como carros de passeio e pickups, é também considerado um tipo de câmbio automático, apesar de seu funcionamento ser diferente.

Nos carros, além da aceleração contínua, sem trancos, o que dá a impressão de que o carro nunca troca de marchas, o sistema CVT proporciona economia de combustível em relação a todos os outros sistemas anteriores, sejam eles automáticos ou manuais. Meu amigo Ângelo Pecly, também professor, fez o seguinte depoimento:

Lembro que a algumas montadoras já tentaram implantar este câmbio em seus carros, mas nunca funcionou muito bem, principalmente porque a correia deslizava. Pra encurtar a história, mais recentemente, as montadoras conseguiram implementar o conceito através de correntes. Bem, hoje temos, por exemplo, o Honda Fit que é mais econômico na versão automática (com CVT) do que a versão com câmbio manual. Até bem pouco tempo atrás, diria uns 5 anos, não se podia imaginar um câmbio automático ser mais econômico que um manual. “  Mais um gol de placa do Leonardo da Vinci!

da Vinci - Homem Vitruviano

O Homem Vitruviano, de Da Vinci

Eu já escrevi um post neste blog sobre o Homem Vitruviano e suas implicações no número áureo. Este célebre desenho de Da Vinci data também de 1490 e é considerado frequentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do quadrado (quadratura do círculo) e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional Phi (aproximadamente 1,618), ou número áureo. Este número é a representação extrema da perfeição, ou ainda, é a ponte que liga a Arte à Matemática.

A Monalisa é provavelmente o retrato mais famoso na história da arte, senão, o quadro mais famoso e valioso de todo o mundo. Poucos outros trabalhos de arte são tão controversos, questionados, valiosos, elogiados, comemorados ou reproduzidos. É uma pintura a óleo sobre madeira de álamo e encontra-se exposta no Museu do Louvre, em Paris, desde 1797, sendo a maior atração do museu.

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Monalisa, de Da Vinci. 1503 a 1506. 77 X 53cm

A Monalisa já protagonizou várias histórias. Em pesquisa na Internet, encontramos algumas. Por exemplo, o imperador Napoleão Bonaparte ficou apaixonado pelo quadro desde a primeira vez que o viu, e mandou colocá-lo nos seus aposentos. Porém, durante as guerras com a Prússia, a Monalisa, bem como outras peças da coleção do museu francês, foi escondida num lugar seguro.

A 22 de agosto de 1911, cerca de 400 anos após ser pintada por Leonardo da Vinci, a Monalisa foi roubada. Muitas pessoas, incluindo o poeta francês Guillaume Apollinaire e o pintor espanhol Pablo Picasso, foram presas e interrogadas sob suspeita do roubo da obra-prima da pintura italiana. Apollinaire e Picasso foram soltos meses mais tarde. Acreditou-se, que a pintura estava perdida para sempre, que nunca mais iria aparecer. Porém, a obra apareceu na Itália, nas mãos de um antigo empregado do museu onde a obra estava exposta, Vincenzo Peruggia, que era de fato, o verdadeiro ladrão.

Em 1956, um psicopata jogou ácido sobre ela, danificando parte inferior da obra; o processo de restauração foi demorado. No mesmo ano, um boliviano jogou uma pedra contra a obra, estragando parte da sobrancelha esquerda da musa de Da Vinci.

Em 2 de agosto de 2009, uma mulher russa jogou uma xícara vazia de café contra o quadro. A pintura não foi danificada, pois a xícara quebrou na proteção de vidro à prova de balas que existe antes do painel. Segundo as autoridades, a mulher só fez isso porque estava indignada após não conseguir a cidadania francesa.

A vida, as obras, os inventos, tudo de Leonardo da Vinci parece um tesouro infinito, que vai se desdobrando com o tempo, que vai desabrochando e florescendo através da evolução da ciência e tecnologia. Com toda certeza,  faço parte daqueles que consideram Da Vinci o maior gênio que já existiu.

 Autor: Catherine Beltrão

O número Pi na Arte

Pois é, mais Matemática na Arte! O que eu posso fazer? Elas teimam em se juntar o tempo todo…

Primeiro, um pouquinho do número  π.

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Arquimedes

O primeiro indivíduo a calcular o número π com duas casas decimais foi o grego Arquimedes (287 a.C. – 212 a. C.) – aquele mesmo do Eureka! -, um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Arquimedes arrumou uma maneira bem curiosa de calcular esse número, utilizando um método conhecido como exaustão. Temos uma circunferência e dentro dela temos um quadrado e fora dela temos outro quadrado. Duas considerações foram feitas aqui por Arquimedes:

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Construção do número Pi

1) O comprimento da circunferência é maior do que o perímetro (soma dos lados) do quadrado de dentro, e menor do que o perímetro do quadrado de fora;

2) Conforme aumentarmos o número de lados dos polígonos de dentro e de fora, teremos uma melhor aproximação para o comprimento da circunferência.

Utilizando um polígono de 96 lados e uma circunferência de raio 1, foi que Arquimedes descobriu que o comprimento desta  circunferência era aproximado por 6,28. Arquimedes então resolveu chamar de  π a metade deste número, ou seja, o número PI ficou conhecido como 3,14. Porém este número é apenas uma aproximação, se aumentarmos o número de lados do polígono, aumentamos também o número de casas decimais de  π.

Mas e a Arte, onde fica a Arte com o número  π?

O artista Martin Krzywinski, especializado em ciência, transformou a aleatoriedade infinita do número π, e de outras constantes matemáticas, em um trabalho artístico de incrível beleza visual. Krzywinski, baseando-se nas imagens criadas por seu parceiro, o romeno Ilies Cristian Vasile (que se autointitula um “artista por acidente” em sua página na internet), compilou uma série de atraentes diagramas circulares que representam as relações entre os dígitos de  π e de outros números constante presentes na matemática, como Phi (também conhecida como a “proporção áurea”) e o número “e“, o número de Euler (que é a base do logaritmo natural).

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Progressão e transição para os primeiros 1000 dígitos de π . Criado a partir do programa Circos.

Na imagem original, criada por Vasile, o artista utilizou um diagrama de Circos – um formato desenvolvido pelo próprio Krzywinski para a visualização de informações do campo da genética. Em sua versão, Krzywinski usou as cores disponíveis na paleta de Brewer, que são projetadas para uma máxima legibilidade.

Para entender como os artistas chegaram até essas belas representações, é só imaginar que eles dividiram cada círculo em 10 segmentos, que representam os números de zero a nove, e a sequência dos dígitos do número  π foram ligadas uma às outras por uma linha. Desta forma, o desenho se inicia na região do 3, uma linha é traçada até o 1, depois segue para o 4, volta para o 1, e assim por diante.

E que tal o número π ao estilo Mondrian?

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3628 dígitos de π com as cores primárias da Bauhaus, ao estilo Mondrian.

 

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Arte para o dia do π em 2015, criado por Krzywinski, ao estilo Mondrian

E, a exemplo do que fez em 2013 e 2014, Krzywinski resolveu celebrar o dia do  π – 14 de março de 2015 ou 3.1415… - fazendo esta arte ao estilo Mondrian.

Para quem quiser saber mais sobre o trabalho deste artista ligado à ciência, clique aqui.

 

Autor: Catherine Beltrão
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Inteligência artificial na Arte

Kandinsky é a bola da vez no CCBB-RJ. “Alan Turing: o Enigma” – leia-se “O jogo da imitação” - ganhou o Oscar 2015 de melhor roteiro adaptado. Qual a relação destes dois temas? A inteligência artificial.

Assim como não existe uma só definição para o que vem a ser Inteligência, há muitas definições para a Inteligência Artificial. Escolho esta: “É a ciência que estuda como fazer os computadores realizarem coisas que, atualmente, os humanos fazem melhor.” O desenvolvimento da área começou logo após a Segunda Guerra Mundial, com o artigo “Computing Machinery and Intelligence” do matemático Alan Turing.

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Alan Turing e sua máquina

Alan Turing (1912-1954) foi um matemático, lógico e cientista da computação britânico. Considerado o pai da ciência da computação, Turing criou a famosa “Máquina de Turing“: para comprovar a inteligência artificial ou não de um computador, ele desenvolveu um teste que consistia em um operador não poder diferenciar se as respostas a perguntas elaboradas pelo operador eram vindas ou não de um computador. Caso afirmativo, o computador poderia ser considerado como dotado de inteligência artificial. Sua máquina podia ser programada de tal modo que pudesse imitar qualquer sistema formal.

Da Máquina de Turing até os dispositivos computacionais atuais, a inteligência artificial trilhou um caminho evolutivo bem grande, subdividindo-se em algumas partes como a robótica, os sistemas especialistas, as redes neurais, os algoritmos genéticos, entre outras tantas, e abrangendo aplicações em várias áreas: engenharia, indústria, medicina, biologia, jogos, telecomunicações… esta lista jamais será exaustiva!

Mas e a aplicação da Inteligência Artificial na Arte? Como anda ela?

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Detalhe de obra de Kandinsky, reinterpretada pelo algoritmo KANTS

Um estudo muito interessante está sendo desenvolvido por Carlos M. Fernandes, em seu doutorado em algoritmos evolutivos, consistindo na reinterpretação de obras de arte abstrata. Essa reinterpretação é feita por um enxame de insetos artificiais que, com a informação cromática da obra original, molda um habitat bidimensional no qual se move e através do qual se comunica entre si. O resultado final é a transcrição desse habitat, após a ação do enxame durante um determinado número de repetições.

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Detalhe de obra de Miró, interpretada pelo algoritmo KANTS

Para fazer esse enxame de insetos artificiais, Carlos M. Fernandes desenvolveu, em conjunto com Juan Julián Merelo e Antonio Mora, da Universidade de Granada, um algoritmo original para agrupar grandes quantidades de dados e deteção de padrões. O algoritmo, chamado KANTS, é um tipo dealgoritmo de formigas. Estes algoritmos são métodos computacionais baseados no comportamento de colônias de formigas.

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Detalhe de obra de Mondrian, reinterpretada pelo algoritmo KANTS

Pois é. Comparadas com as inúmeras outras aplicações, são poucas as incursões da Inteligência Artificial na Arte. Pelo visto, é bem mais complexo simular a inteligência de um artista do que a de um engenheiro, um médico, um processo empresarial. Isto está diretamente relacionado com a codificação da criatividade, abundante nos profissionais da Arte.

Autor: Catherine Beltrão

Escher: mais matemática na Arte

Escher

M. C. Escher

Dando prosseguimento aos textos relacionando ciência e arte, desta vez a abordagem é focar o arquiteto Maurits Cornelis Escher (1898 — 1972), artista gráfico holandês conhecido pela execução de transformações geométricas (isometrias) nas suas obras. Mas o que é isometria?

Isometria é uma palavra de origem grega (Isos = igual e metria = medida) e é definida como sendo uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direção e o sentido. Os ângulos mantêm também a sua amplitude. Existem quatro tipos de isometrias no plano: rotações, translações, reflexões e reflexões deslizantes.

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Tipos de isometria

 

E de que forma se aplica a isometria em obras de arte? A partir de uma malha de polígonos, regulares ou não, Escher fazia mudanças, mas sem alterar a área do polígono original. Assim surgiam figuras de homens, peixes, aves, lagartos, todos envolvidos de tal forma que nenhum poderia mais se mexer. Tudo representado num plano bidimensional.

Bastante intrigante é tentar entender como  um pássaro pode se transformar em peixe, em uma única obra, como esta apresentada abaixo.

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“Céu e água”, de Escher

 

Para quem quiser matar a curiosidade de como a isometria é utilizada para a criação de uma obra como essa, vale a pena acessar este link, realizado pelo Office National du Film du Canada.

Mas Escher também explorou o espaço em seus trabalhos, brincando com o fato de ter que representar o espaço, que é tridimensional, num plano bidimensional, como a folha de papel. Com isto ele criava figuras impossíveis, representações distorcidas e paradoxais.

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“Relatividade”, de Escher. Litogravura, 39,3 X 40,3cm

 

Bem interessante é esta animação em 3D, realizada a partir da obra “Relatividade, localizada na National Gallery of Canada, em Ottawa.

O que mais intriga na obra de Escher é que ele não tinha quase nenhum conhecimento de matemática, de geometria, de isometria. No entanto, criou obras fantásticas, que servem de análise e discussão para pesquisadores de várias áreas, seja no campo artístico ou no de arquitetura.  E ele, como algumas pessoas que ficam bailando nas fronteiras das chamadas “áreas do conhecimento”, sentia dificuldade em se auto classificar.

São palavras de Escher: “Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas.”

 Autor: Catherine Beltrão

O Homem Vitruviano e o número Phi: a matemática da beleza

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Leonardo da Vinci. Autorretrato.

Leonardo da Vinci (1452-1519), um dos maiores gênios da humanidade, não foi só o pintor de Mona Lisa, a obra mais famosa já pintada, reproduzida e parodiada de todos os tempos. Ele também era matemático, engenheiro, cientista e inventor. E também botânico, poeta e músico.

Por volta de 1490, da Vinci produziu vários desenhos para um diário. Entre eles, está o célebre Homem Vitruviano, baseado numa passagem do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura, um tratado de arquitetura em que, no terceiro livro, são descritas as proporções do corpo humano masculino:

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“O Homem Vitruviano”, de Leonardo da Vinci. 1490, Lápis e tinta sobre papel, 34 X 24 cm

- um palmo é o comprimento de quatro dedos
- um pé é o comprimento de quatro palmos
- um côvado é o comprimento de seis palmos
- um passo são quatro côvados
- a altura de um homem é quatro côvados
- o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura
- a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem
- a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem
- a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem
- o comprimento máximo nos ombros é um quarto da altura de um homem
- a distância entre a o meio do peito e o topo da cabeça é um quarto da altura de um homem
- a distância entre o cotovelo e a ponta da mão é um quarto da altura de um homem
- a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem
- o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem
- a distância entre o fundo do queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto
- a distância entre a linha de cabelo na testa e as sobrancelhas é um terço do comprimento do rosto
- o comprimento da orelha é um terço do da face
- o comprimento do pé é um sexto da altura

Após várias tentativas de Vitrúvio para encaixar as proporções do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um círculo, foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu corretamente perfeito, dentro dos padrões matemáticos esperados.

Para uma melhor visualização das proporções do Homem Vitruviano, acesse aqui.

O Homem Vitruviano é considerado frequentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, por extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica à área total do quadrado (quadratura do círculo) e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional Phi (aproximadamente 1,618).

 

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Espiral de uma galáxia inserida no retângulo dourado

 

Phi - Girassol

Miolo do girassol

phi - colmeia

Colmeia de abelhas

Mas o que é o número Phi ou número áureo?  Este número está envolvido com a natureza do crescimento e está associado ao significado da perfeição, que pode ser encontrado em vários exemplos de seres vivos: crescimento de plantas, população de abelhas, escamas de peixes, presas de elefantes, flor de girassol, entre outros. E também em espirais de galáxias. Na matemática, o número Phi é encontrado de várias formas: Figuras Geométricas, Retângulo Dourado, Série de Frações, Série de Raízes e a Série de Fibonacci. Neste post, vou me ater ao número áureo encontrado através da Série de Fibonacci.

Fibonacci - espiral

Espiral de Fibonacci, inserida no retângulo dourado

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:

2/1 = 2 ….. 3/2 = 1,5 ….. 5/3 = 1,666…… 8/5 = 1,6 …… 13/8 = 1,625

da Vinci - Homem Vitruviano fibonacci

O Homem Vitruviano e a Série de Fibonacci

 

Muitos estudos e muitas pesquisas já se fizeram e continuarão a ser feitos desvendando os mistérios do número Phi. Importante lembrar que, desde sempre, o homem está continuamente à procura da felicidade. E a beleza, sentida ou mostrada, faz parte desta felicidade. O número áureo, sendo a representação extrema da perfeição, é a ponte que liga a Arte à Matemática, em busca da beleza, em busca da felicidade.

 Autor: Catherine Beltrão

Música e Matemática, amigas de longa data

Aproveitando o feito sensacional da conquista da medalha Fields pelo matemático brasileiro Artur Ávila, em Seul, no Congresso Internacional de Matemáticos, neste 12 de agosto, gostaria de apresentar aqui dois exemplos da relação da Matemática com a Música.

O grande matemático Leibnitz certa vez disse que “A música é um exercício de aritmética secreto e aquele a que ela se entrega às vezes ignora que maneja números”. Particularmente, quando comecei a estudar peças de J.S. Bach, percebi que havia algo mais estrutural que suportavam estes sons quase divinos que saíam de seus cânones e fugas. Senão vejamos.

Bach

J. S. Bach

Foi Bach (1685-1750) que estabeleceu a escala cromática ou temperada, dividindo a escala musical em 12 partes. Ele partiu da escala diatônica, dividida em 7 partes, com as notas Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si – correspondendo às teclas brancas do teclado do piano, acrescentando mais 5 semitons – as notas Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá# – que correspondem às teclas pretas. Mas Bach, este que é considerado o maior gênio musical que já existiu, criou esta escala temperada  – Dó, Dó# Ré, Ré#, Mi, …, Si –  em 12 partes logarítmicas, desta forma:

Bach - escala cromatica

Escala cromática, dividida em 12 partes logarítmicas

Baseado nesta escala temperada, J. S. Bach compôs inúmeras peças. Entre elas, está o Cânone do Caranguejo, belíssima obra que se presta a muitas variações como esta que é apresentada abaixo.

http://www.youtube.com/watch?v=xUHQ2ybTejU

Bach - canone Moebius

Cânone do Caranguejo, de J.S.Bach, inserido em uma fita de Moebius. Vídeo de Jos Leys.

 

Para os que não sabem, chama-se cânone a forma polifônica em que as vozes imitam a linha melódica cantada por uma primeira voz, entrando cada voz, uma após a outra, uma retomando o que a outra acabou de dizer, enquanto a primeira continua o seu caminho: é uma espécie de corrida onde a segunda jamais alcança a primeira. E, no cânone retrógrado ou caranguejo, o consequente acompanha o antecedente de trás para frente (retrógrado).

Uma fita de Möbius é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta numa delas.

Um outro exemplo desta amizade entre Música e Matemática é a relação entre os números de Fibonacci e a escala cromática musical. O vídeo abaixo é autoexplicativo. Para aumentar nosso deleite, o fundo musical é ao som do Prelúdio em Dó Maior do Cravo Bem-Temperado, de J. S. Bach.

http://www.youtube.com/watch?v=2pbEarwdusc

Bach - fibonacci

Relação entre a série de Fibonacci e a escala cromática musical

Em tempo: a sequência de Fibonacci se inicia com os dois primeiros números com o valor 1 e cada um dos outros sendo a soma dos dois anteriores.

Lindo este congraçamento entre cânones, logaritmos, escala cromática e números de Fibonacci, não?

 Autor: Catherine Beltrão

“A arte do brick”

Como é do conhecimento de muita gente, o sistema LEGO é um brinquedo de plástico injetado, baseado em partes que se encaixam permitindo inúmeras combinações. Criado pelo dinamarquês Ole Kirk Christiansen, é fabricado em escala industrial desde meados da década de 1950. O criador fundiu duas palavras em dinamarquês para obter o nome “LEGO”: leg godt que significa “brincar bem”.

Fui conhecer este  brinquedo  no início dos anos 80, em minha estadia na França, quando meu filho Daniel, então com 4 anos, recebeu de aniversário de um de nossos amigos, o seu primeiro brinquedo Lego. Na época, já ficava fascinada com as inúmeras possibilidades de criação de objetos com os blocos. Mas nunca poderia imaginar o que, bem mais tarde, poderia ser feito com estas peças, dentro de um contexto artístico.

Sawaya

Nathan Sawaya

Como uma brincadeira de criança que ganha grandes proporções, o artista americano Nathan Sawaya ficou conhecido no mundo inteiro com suas obras elaboradas exclusivamente com blocos Lego.

Sawaya - Amarelo

“Amarelo”

Sua exposição itinerante The Art of the Brick (“A Arte do Tijolo”, em tradução livre), lançada em 2011, já foi vista por mais de 1,5 milhão de pessoas nos Estados Unidos, Canadá, Austrália e Ásia e, recentemente, chegou à Europa, com uma primeira parada na Bolsa de Bruxelas, onde ficou até 21 de abril.

A capital belga recebeu 70 de suas obras mais impressionantes, reunindo cerca de um milhão de peças de Lego em um espaço de 1,3 mil metros quadrados.

Sawaya - Tiranossauro

“Tiranossauro”

 

Sawaya - O Grito

“O Grito”, de E. Munch

Sawaya - O Beijo

“O Beijo”, de G. Klimt

Entre elas se destacava um esqueleto de tiranossauro de seis metros de comprimento, que custou ao artista três meses de trabalho e mais de 80 mil blocos do popular brinquedo de plástico, além de reproduções em três dimensões de telas clássicas, como O Beijo, de Klimt, e O Grito, de Edvard Munch.

Sawaya também revisitou esculturas como a Vênus de Milo, de Alexandros de Antióquia, e O Pensador, de Rodin, e criou obras originais que mostram figuras humanas em plena transformação.

Sawaya - Nadador

“A Nadadora”

Advogado de formação, Sawaya começou a construir objetos com Lego na infância, como qualquer criança, mas sua paixão e habilidade com o brinquedo evoluiu com o tempo.

Em 2004 ele desistiu do trabalho em um escritório de advocacia para integrar a equipe artística de Lego, antes de abrir um estúdio de artes em Nova York e começar a expor suas obras em 2007.

Gosto de ver a reação das pessoas diante de obras de arte criadas a partir de algo com o qual são familiares. Todo mundo pode estabelecer uma relação com essas obras porque, na base, trata-se de um brinquedo que muitas crianças têm em casa“, ele explica.

Não fui aos Estados Unidos, Canadá, Austrália e Ásia, e nem mesmo a Bruxelas. Não sou uma das 1,5 milhão de pessoas que tenha visto a exposição “The Art of the Brick“. Fico então aguardando a exposição chegar por aqui, em terras brasileiras.

Mais informações:

http://www.youtube.com/watch?v=mpnfIRFNXsM
http://www.youtube.com/watch?v=sNwzWUHDUTQ

 Autor: Catherine Beltrão